第725章追不上的乌龟

连续统的基数不是阿列夫一。

阿基里斯回忆着之前那张纸上列举着超图灵机力量层次的图灵度层级，表情疑惑地问道：

“可是，之前在那张图表上，你不是在无限时间图灵机的下方划了一条线，并且写下了实数连续统吗？”

在那张图灵度层级的图表上，所有的超图灵机都属于可数无限的层次，唯有最末尾的实数连续统是不可数无限。

这样看来，康托尔的连续统假设在这个世界里应该是成立的。

自然数集合的幂集，全体实数构成的集合，全体可数序数构成的集合，三者的基数都是不可数无限N1。

“不，等等，我好像明白了！”

阿基里斯看了眼自己脑袋上顶着的那个日光圆环散发的白光，突然反应了过来。

“你在那张纸上写的是实数连续统，而不是连续统。”

“你的意思是说，在这个世界里，即使是所有的实数，依然无法填满整条数轴？”

李恒点点头道：

“不错。”

“其实这也不难想到，第二次数学危机就是实无限和潜无限的混乱带来的危机——更准确的说，是无穷小量和0之间的矛盾。”

“莱布尼茨就在自己的微积分中使用了实无穷小，这也是贝克莱主教攻击微积分理论基础的主要方向。”

“从本体论上看，莱布尼茨将无穷小量看作是万物由此组成的不可再分的最小的原子，它是绝对值小于任何实数的实无穷小。”

“柯西和魏尔斯特拉斯的极限概念，戴德金分割用有理数对连续的直线进行切割，康托尔用有理数序列表示十进制无限小数的方法，这三者彼此都是等价的。”

“它们都定义了一个稠密、连续、完备的实数模型。”

“但是，以上这些理论都只属于标准分析的范围。”

“有标准分析，自然就有非标准分析。”

就像既有局限于平面上的欧氏几何，也有扩展到高维空间的非欧几何一样。